Le comptoir

Hey un p'tit comptoir, un truc qui sert à rien mais qui sert beaucoup ^^

1er message du comptoir:

2007 interrupteurs sont numérotés de 1 à 2007. Tous sont en position off.
1ere manip: on bascule ts les interrupteurs multiples de 1
2e manip: on bascule ts les interrupteurs multiples de 2
3e manip: ...
2007e manip: on bascule tous les multiples de 2007.

Question: combien d'interrupteurs restent allumés?

il me faut la reponse avant demain 08h00... bonne chance

Hey c'est Matt from brest!!
Alors Federer??? il c'est écroulé cette après-midi??

bon en fait la réponse est 44.

C'est simple, sur les 2007 ampoules, celles qui resteront allumées sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseur.
Il s'agit donc des carrés parfait qui sont: 1,4,9,16,25,36,etc...
Voila

Maintenant la dernière ampoule a être allumée est la 1936ème car 44²=1936 et que 45²=2025.

Voila j'espère que j'ai été clair.

N41 est le nombre formé par 2006 fois le chiffre 4 suivi de 2006 fois le chiffre 1, N5 est le nombre formé de 2006 fois le chiffre 5.
A quoi est égale la racine carrée de N41 moins N5?

hey les mecs, à un comptoir on parle pas forcément de maths, on est là pour parler comme des gens bourrés. Alors :
Ouai, ouai, Federer s'est écroulé, mais je suis sur qui s'dope moi l'enfoiré de merguez de Nadal, moi, c'est po possible de cavaler comme ça.
Oh, une autre garçon!
Ouai, et pi toi là bo, c pas la peine de nous embrouiller avec tes cubes parfaits lô, alors arrête où je te pisse dans les gencives!
ouai, et le foot, ah!, moi je dis, les roumains c'est trop des lopettes, des roumains quo. Mais au moins ils sont blanc, alors qu'en France yo que des noirs!, Vieira joue po, ta mieu.
Oh, demain les résultats, fait chier. Dame, on verra bien.
2 autres garçons! Pour moi et mon copain!
Ah là là, toutes des Salopes, to vu celle lo un peu! Bon Dieu!
Et puis prenez les calculettes les go, moi je vous le dis!
N'empèche, moi je vois bien les Belges champion d'Europe quoi, ils sont tellement cons.
Oh!, et puis qu'il est con ce rosbeef d'Hamilton!!! (galette) Il s'arrête po au feu rouge!
Ah, à magnycours, on va lui défoncer so gueule! aha hahaaha.

Allez, jo vais allez me coucher, et surtout , surtout, merci les go, vous êtes super!

(tombe, re galette, se relève, s'en va)

Bon il y a des âmes malfaisantes qui me disent d'être plus précis dans la résolution de l'énigme.
Ces âmes ou plutôt cette âme malfaisante (pour ne pas cibler Brice) veulent que je démontre que:
un nombre est un carré parfait ssi il a un nombre impair de diviseurs.

Et je vais donc chercher parce que ça me fait plaisir de faire des vraies maths vu que j'en ai pas fait depuis un an environ... (en gros c'est de la merde ce qu'on a fait à la fac).

Donc j'espère pouvoir vous donner la démo cet aprem!

(Le gars bourré a décuvé)
Donc, montrons, comme Fabien a bien souligné que le problème revenait à ça :
Soit m € N

m a un nombre de diviseur impair SSI m est un carré parfait.

Sens direct :

Décomposons m en produit de facteur premier : il existe n€N tel que m = a1^p1 * a2^p2 * ... * an^pn
avec a1, ..., an premier
et p1, ..., pn € N, leur ordre respectif (j'entends par ordre d'un nombre premier dans la DPFP la puissance qu'il a dans la DFPF).

Or, on obtient alors les différents diviseurs de n en combinant les facteurs premiers ai, et en faisant varier les puissances de 0 à pi. On a donc :

(p1+1)(p2+1)...(pn+1) diviseurs de n. Or, ce nombre est impair, ce qui implique que chaque pi, i allant de 1 à n, est pair.

On peut donc écrire m = a1^2q1 * a2^2q2 * ... * an^2qn = (a1^q1 * a2^q2 * ... * an^qn)^2

Avec q1, ..., qn € N

Comme a1^q1 * a2^q2 * ... * an^qn est bien un entier, on a m qui est un carré parfait.

Sens retour :

réciproquement, prenons m un carré parfait. Alors m = x² avec x entier.

Décomposons-le en produit de facteur premier : il existe n € N tel que x = b1^r1 * b2^r2 * ... * bn^rn
avec b1, ..., bn premier
et r1, ..., rn € N, leur ordre.

Donc m = x² = (b1^r1 * b2^r2 * ... * bn^rn)² = b1^2r1 * b2^2r2 * ... * bn^2rn

m a donc (2r1+1)(2r2+1)...(2rn+1) diviseurs, et chaque facteur de ce produit étant impair, le produit l'est aussi.

m a donc un nombre impair de diviseurs.


Amicalement vôtre

ah ah Brice m'a devancé!! en fait j'ai trouvé la même démo que lui mais j'ai pas eu le temps de la mettre sur le forum.
Donc merci Brice! là j'pense qu'on a bien résolu ton enigme paulo!!!

Petite revanche sur Brice avec le résultat de la deuxième énigme!!!

N41= somme(k=0..2005, 10^k) + 4*somme(k=2006..4011, 10^k)
N5= 5*somme(k=0..2005, 10^k)

N41 - N5= somme(k=0..2005, 10^k) + 4*somme(k=2006..4011, 10^k) - 5*somme(k=0..2005, 10^k)
= somme(k=0..2005, 10^k) + 4*10^2006*somme(k=0..2005, 10^k) - 5*somme(k=0..2005, 10^k)
= (4*10^2006 + 1 - 5)*somme(k=0..2005, 10^k)
= 4*(10^2006 - 1)*somme(k=0..2005, 10^k)

Or somme(k=0..2005, 10^k)= (1-10^2006)/(1-10) = (10^2006 - 1)/9

Donc N41 - N5 = 36*(somme(k=0..2005, 10^k))²

et par conséquent: racine(N41 - N5)= 6*somme(k=0..2005, 10^k)


Voilà j'espère que j'ai été clair! :^p

moi je vais essayer de poster un vrai msg de bourré sur le forum, genre la prochaine fois que je me prends une cuite (c'est a dire dans le meilleur/pire des cas jeudi soir, et dans le pire/meilleur des cas mercredi soir) he he he

en tout cas merci fab et brice pr cette enigme, merci a fab tout particulierement pour avoir repondu avant ce matin parce qu'on a eu la question au qcm cet aprem (cad +2pts pr matt et moi) et pr la 2e ca ne fait que confirmer ce que je pensais de fabien: c'est un autiste.

allez bonne bourre les mecs

Héééé bah franchement Brest c'est pas que de la merde ^^
Et ses connards de ritals perdent c'est bon ça!

Et vous stressez tous parce que vous attendez tous vos résultats demain !! Et ça c'est bon

L'EURIA est mort, vive l'EURIA

Yeaaaah

une petite envie de laisser un message.... J'ai rien à dire donc je pense que je vais m'arrêter là,
et juste j'espère que vous allez tous bien,

bizz les gens!!!

Allez pour bien commencer la journée une petite histoire drole sympatoche :

LE PERROQUET SANS PATTES

Un type entre dans un magasin d'animaux, fait un tour et passe devant un perroquet sans pattes. Il dit tout haut :

- Eh ben, qu'est-il arrivé à ce perroquet ?

- Je suis né comme ça ! dit le perroquet.

- Eh, on dirait qu'il a compris ce que je disais,

- Je comprends chaque mot. Je suis terriblement intelligent et très cultivé.

- Ah ouais ? Et bien explique-moi comment tu tiens sur ta perche

- C'est à dire... c'est un peu embarrassant... Comme je n'ai pas de pattes, je me sers de mon petit zizi de perroquet comme d'une sorte de crochet. Tu ne peux pas le voir à cause de mes plumes.

- Wow, dit le gars, alors comme ça, tu peux vraiment comprendre et répondre à ce qu'on te dit

- Bien sûr. Je parle couramment français et anglais, et je peux tenir une conversation sur des sujets divers : politique, religion, économie, physique, philosophie... Bien sûr, je suis également assez calé en ornithologie. Tu devrais m'acheter, je serais un compagnon très agréable.

Le gars regarde le prix :

- 14.000 balles ? ! ? C'est cher, mais effectivement, tu vaux ton prix.

Il rentre chez lui. Les semaines passent et le petit perroquet sans pattes est fantastique. Il est amusant, intéressant, un bon copain, il comprend tout, sympathise avec les problèmes de son maître et est de bon conseil. Un jour, le type revient du boulot. Le perroquet, en dessous du fauteuil, l'appelle:

- Psssst !!

Il approche et le perroquet dit à voix basse :

- Je ne sais pas si je devrais te dire ça, mais ta femme et le facteur, ben euh..
- Quoi, ma femme et le facteur ?

- Chut !! Ben, quand le facteur est passé ce matin, ta femme lui a ouvert, vêtue seulement d'une chemise de nuit quasi transparente, l'a fait entrer et elle l'a embrassé sur la bouche.

- Quoi? Et puis, qu'ont-ils fait ?

- Il a soulevé sa chemise de nuit et l'a caressée sur tout le corps...

- Hein ? Et puis, qu'a-t-il fait ?

- Il a commencé à lui lécher les seins, puis le ventre, puis s'est mis à genoux et lui a embrassé le bas-ventre...

- Quoi ? Et puis ? Qu'a-t-il fait ? Réponds !

- ..... Je ne sais pas, j'ai commencé à bander et je suis tombé !!!!!!!!!!!!!!!

Voila j'espere que vous avez apprécié

terrible!!!

Je comprends pas.

Il peut parler grace à une manque des pattes?